Mechanismentechnik Wiederholung

1.6 Geschwindigkeit

Beim Vorliegen der Übertragungsgleichung oder -funktion kann die Geschwindigkeit der Übertragungsgröße aus Gleichung 1.14 gewonnen werden. Üblicherweise sind wir jedoch an Geschwindigkeiten beliebiger Gliedpunkte oder an Winkelgeschwindigkeiten beliebiger Glieder in bestimmten, ausgezeichneten Stellungen interessiert. Zur Ermittlung dieser Größen bietet sich der erste Satz von Euler zur Verwendung an.

Erster Satz von Euler für die Geschwindigkeit

Jede ebene Bewegung eines starren Körpers setzt sich zusammen aus der Translation eines Körperpunkts sowie einer Rotation des Körpers um eben diesen Punkt.

Wir wollen das Vorgehen an einer Kurbelschwinge illustrieren. Es seien die Gliedmaße und -lagen sowie die Antriebswinkelgeschwindigkeit gegeben. Nun interessieren wir uns für die Winkelgeschwindigkeiten von Koppel und Schwinge und die Geschwindigkeiten der Punkte $B$ und $C$.

Wir beginnen mit der Anwendung des ersten Euler'schen Satzes auf die Kurbel und erhalten:

Abb. 1.6: Geschwindigkeiten des Viergelenks

Die Betrachtung der Geschwindigkeit des Punkts $C$ als Punkt der Koppel sowie als Punkt der Schwinge muss zu demselben Ergebnis führen und kann gleichgesetzt werden.

Die Multiplikation dieser Vektorgleichung einmal mit $\bm r_3$ und zum anderen mit $\bm r_2$ liefert die Winkelgeschwindigkeiten

$$\begin{aligned} \omega_2 &= -\omega_1\frac{\bm{\tilde r}_1}{\bm{\tilde r}_2\bm r_3}\bm r_3\\\\ \omega_3 &= -\omega_1\frac{\bm{\tilde r}_1}{\bm{\tilde r}_2\bm r_3}\bm r_2 \end{aligned}$$(1.19)

Die fehlende Geschwindigkeit des Punktes $C$ erhalten wir vorzugweise über die Schwinge unter Verwendung der bereits ermittelten Größen zu

Die Geschwindigkeit jedes weiteren Gliedpunkts kann durch erneute Anwendung des Euler'schen Satzes berechnet werden.